1、幂函数怎么判断奇偶性

一、奇函数、偶函数的概念

1、奇函数：假如一个函数f(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。

2、偶函数：假如一个函数g(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有g(-x)=g(x),则称函数g(x)为偶函数。

【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

(相关资料图)

二、奇函数、偶函数的图像特点

1、奇函数图象关于原点对称。奇函数的图象，是个以原点为对称中心的中心对称图象。

2、偶函数图象关于y轴对称。偶函数的图象，是个以y轴为对称轴的轴对称图象。

3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

4、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”，则一定有f(0)=0。因此，如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。

5、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”，则g(0)不一定为0。因此，如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。

6、偶函数在对称区间上的值域相同，奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。

三、奇函数、偶函数的判定

假设函数f(x)、g(x)的定义域都关于原点对称。则

1、f(x)是奇函数的几个充要条件为：

（1）对定义域中的任意x都有：f(-x)=-f(x);

（2）对定义域中的任意x都有：f(x)+f(-x)=0;

（3）对定义域中的任意x都有：f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不为0.

（4）对定义域中的任意x都有：f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不为0.

（5）f(x)的函数图象关于原点对称。

2、g(x)是偶函数的几个充要条件为：

（1）对定义域中的任意x都有：g(-x)=g(x);

（2）对定义域中的任意x都有：g(x)-g(-x)=0;

（3）对定义域中的任意x都有：g(-x)/g(x)=1;【注】分母不为0.

（4）对定义域中的任意x都有：g(x)/g(-x)=1;【注】分母不为0.

（5）g(x)的函数图象关于y轴对称。

四、函数按奇偶性的分类

所有函数照奇偶性分类可以分成四类，分别是：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

常见的“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数”举例如下。

1、常见的奇函数

（1）次数为奇数的幂函数：y=x^(2n-1)，n为整数。例：y=x，y=x^(-1)=1/x，

（2）正弦函数和正切函数：y=sinx，y=tanx。

（3）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)-f(-x)]/2为奇函数。

【注】因为g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。

2、常见的偶函数

（1）常函数：y=c（c为常数）。

（2）次数为偶数的幂函数：y=x^(2n)，n为整数。例：y=x^2，y=x^(-2)。

（3）余弦函数及某些三角函数的变形：y=cosx，y=|sinx|，y=|cosx|，y=sin|x|。

（4）特殊的分段函数：y=|x|。

（5）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)+f(-x)]/2为偶函数。

【注】因为g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。

3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数

y=0（定义域关于原点对称）。例：1、y=0，x∈R；2、y=0，x∈(-1,1)等。

【注】高中数学里，“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。

4、常见的非奇非偶函数

（1）奇函数与偶函数的和。例：y=x+1，y=x+x^2;

（2）指数函数、对数函数。例：y=a^x（a>0且a≠1），y=lnx，y=lgx。

（3）某些幂函数。例：y=√x（注：y=“x的算术平方根”）。

五、复合函数的奇偶性

设复合函数u(x)=f(g(x))，定义域非空且关于原点对称，则有：

（1）f(x)、g(x)都为奇函数时，u(x)=f(g(x))为奇函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。

（2）f(x)、g(x)都为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（3）f(x)为奇函数，g(x)为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（4）f(x)为偶函数，g(x)为奇函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)

2、幂函数怎么判断奇偶

函数的奇次幂也是什么函数呢？

如果一个函数是偶函数，那么它的定义域是关于原点对称的，无论x取什么样的值，都有负x的函数值，等于x的函数值，偶函数的奇次幂同样适合于，负x的函数值等于x的函数值。所以偶函数的奇次幂仍然是偶函数。例如Y=x^2，那么y=x^2括号3的平方，也就是y=x的六次方，仍然是偶函数。

3、幂函数的图像和奇偶性

当我们在学习数学这个学科的时候，会遇到一些初等函数，初等函数的种类还是比较多的，除了有指数函数之外，还有对数函数、幂函数等等，学习了这些基本初等函数之后，我们就可以将这些学到的知识运用于高等数学或者是一些数学分析上面，那么指数函数是奇函数还是偶函数呢？

指数函数是非奇非偶函数。指数函数的定义就是a>0且a不等于1。也就是说假如a小于0或者是a等于1了，那么在数学的范畴里就不具备任何意义了。

如果是在有意义状况之下，图像关于y轴对称，但如果用f（-x），那就不满足所有条件，所以才属于非奇非偶函数